Aufgaben zu Tangenten an Parabeln

Die Tangenten von einem Punkt der Symmetrieachse der Parabel $p : y = - (x - 1)^{2} + 1$ an die Parabel stehen aufeinander senkrecht. Berechne die Berührpunkte und die Gleichungen der Tangenten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentenberechnung

Symmetrieachse

$p : y = - (x - 1)^{2} + 1$

Entnimm der Scheitelpunktsform den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse der Parabel.

$S (1 ∣ 1)$

$\Rightarrow x=1$ ist Symmetrieachse

Aufstellen der Geradengleichungen

Wähle auf der Symmetrieachse einen beliebigen Punkt.

$S_{k} (1 ∣ k)$ sei ein beliebiger Punkt auf der Symmetrieachse.

Stelle eine Geradengleichung $g$ durch den Punkt $S_{k}$ mit variabler Steigung $m$ auf.

$\displaystyle g:\dfrac{y-k}{x-1}$	$=$	$\displaystyle m$	$\displaystyle \cdot\left(x-1\right)$
$\displaystyle y-k$	$=$	$\displaystyle m(x-1)$	$\displaystyle +k$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle mx-m+k$

Schnittpunkt berechnen mit der Parabel

Schneide die Gerade $g$ mit der Parabel $p$ durch Gleichsetzen der Funktionsterme.

$\displaystyle -\left(x-1\right)^2+1$	$=$	$\displaystyle mx-m+k$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle -x^2+2x-1+1$	$=$	$\displaystyle mx-m+k$	$\displaystyle -mx+m-k$
$\displaystyle -x^2+2x-mx+m-k$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot (-1)$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle x^2+\left(m-2\right)x+\left(k-m\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Ausnutzen der Bedingung, dass die Tangente und Parabel nur einen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben

Damit die Gerade $g$ eine Tangente an die Parabel $p$ ist, dürfen sie nur einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. In diesem Fall muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null sein.

Setze die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der quadratischen Gleichung

$x^2+\left(m-2\right)x+\left(k-m\right)=0$ gleich null.

$\displaystyle \left(m-2\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(k-m\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach $m$ auf.
$\displaystyle m^2-4m+4-4k+4m$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle m^2+4-4k$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4k-4$
$\displaystyle m^2$	$=$	$\displaystyle 4k-4$
	↓	Klammere $4$ aus.
$\displaystyle m^2$	$=$	$\displaystyle 4\left(k-1\right)$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle m_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2\sqrt{k-1}$

Bedingung der senkrechten Tangenten

Beachte jetzt die gestellte Aufgabe:

Die beiden Tangenten für $m_{1}$ bzw. $m_{2}$ sollen aufeinander senkrecht stehen.

Es muss also gelten: $m_1\cdot m_2=-1$

$\displaystyle \left(+2\sqrt{k-1}\right)\cdot\left(-2\sqrt{k-1}\right)$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -4\left(k-1\right)$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :(-4)$
$\displaystyle k-1$	$=$	$\displaystyle 0{,}25$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle 1{,}25$

Lösungen

Mit $k = 1,25$ folgt $S_k(1\vert1{,}25)$ .

Setze $k = 1,25$ in $m_{1/2}=\pm2\sqrt{k-1}$

$m_{1} = + 1$ und $m_{2} = - 1$ .

Gib die Tangentengleichungen an.

$\displaystyle t_1:\dfrac{y-1{,}25}{x-1}$	$=$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle t_1:y$	$=$	$\displaystyle x+0{,}25$

$\displaystyle t_2:\dfrac{y-1{,}25}{x-1}$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle t_2:y$	$=$	$\displaystyle -x+2{,}25$

Koordinaten der Schnittpunkte / Berührpunkte

Schneide die Tangenten mit der Parabel durch Gleichsetzen der Funktionsterme.

$t_1\cap p$

$\displaystyle -\left(x-1\right)^2+1$	$=$	$\displaystyle x+0{,}25$
	↓	Klammer auflösen.
$\displaystyle -x^2+2x-1+1$	$=$	$\displaystyle x+0{,}25$	$\displaystyle -x-0{,}25$
$\displaystyle -x^2+x-0{,}25$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle x^2-x+0{,}25$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse mit binomischer Formel zusammen.
$\displaystyle \left(x-0{,}5\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

Setze $x = 0,5$ in $t_1:y=x+0{,}25$ ein:

$y = 0,5 + 0,25 = 0,75$

$\Rightarrow A(0{,}5|0{,}75)$

$ t_{2} \cap p t_2∩p$

$\displaystyle -\left(x-1\right)^2+1$	$=$	$\displaystyle -x+2{,}25$
$\displaystyle -x^2+2x-1+1$	$=$	$\displaystyle -x+2{,}25$	$\displaystyle +x-2{,}25$
$\displaystyle -x^2+3x-2{,}25$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle x^2-3x+2{,}25$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse mit binomischer Formel zusammen.
$\displaystyle \left(x-1{,}5\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

Setze $x = 1,5$ in $t_2:y=-x+2{,}25$ ein:

$y = - 1,5 + 2,25 = 0,75$

$\Rightarrow B(1{,}5|0{,}75)$

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